2023年第十八届中国北方数学邀请赛一试（第一天）

第一题

显然有FQBD共圆，DEPC共圆，

延长FE交BC于点T,

则TE·TF=TD²，TF·TQ=TB·TD,TE·PT=TD·TC,

所以PT·TQ=TB·TC=TD·TM(TDBC调和点列).

综上可知证毕。

第二题

分析：经过一些摸索，或者直接凭经验和感觉大胆猜测也可以。

解答：

首先取a1=a2=··=a(n–1)=0，a(n)=1/n，

此时因x(n)≥1/n，原式=1-1/n，是定值。

所以λ≤1-1/n。

另一方面考虑两组x序列：

(0，0··，1)和(1/n，1/n··，1/n)

由绝对值不等式容易知道两者中必有一个大于等于1-1/n，于是λ≥1-1/n。

综上，λ=1-1/n。

第三题

当n=17时，对于一个点连出的16条边，一共染三种颜色，必然有6条边是同色的，对于这个6个点，两两连线只能是二染色的，其中一个点连出的5条边又有3条同色，于是必然有同色三角形。

当n=16时，可以构造出来。

第四题

只需证明不存在x，y使得：

p不整除x–y且p整除x^5–y^5，

由费马小定理以及5不是p–1的因数证毕。